служител напуска по взаимно съгласие и се регистрира на борсата за 4 месеца. На втория месец сключва срочен трудов договор за 3 месеца и отново се регистрира на борсата. Въпроса ми е на какъв срок ще има право да получава обезщетение от борсата - за остатък до 4 месеца или почва да тече нов срок от от 1 година /ттъй като има право /

Остатъка до 4 месеца. Ако е спазил всички процедури по отписване и нова регистрация.
Една година обезщетение - през 2021 г. Евентуално.

А ако не се регистрира на борсата след напускането по взаимно съгласие, всключи срочен договор за 1 месец тогава има ли право на обещетение от 1 година

Като гледам историята - колеха сте. Би трябвало да знаете къде е записан срока на обезщетението за безработица. Подсказвам - КСО, чл.54а, 54б и нататък. Прочетете!
Иначе: все още няма изискване за минимален срок на работа при последния работодател. Теоритично може и 1 ден.
Имайте предвид, че зачестиха проверките на работодатели, направили подобни услуги, за това нещата трябва да са добре документирани.

^{Отговор на galeksie(06.09.2018 14:09):
galeksie каза:
А ако не се регистрира на борсата след напускането по взаимно съгласие, всключи срочен договор за 1 месец тогава има ли право на обещетение от 1 година}